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La série de Fibonacci

Nous avons constaté dans le vivant la présence constante de cette série. Il est donc maintenant intéressant de comprendre comment elle fonctionne.

La série de Fibonacci est une suite mathématique qui commence par les deux nombres 1 et 1. Pour déterminer un élément de cette progression, il suffit d’effectuer la somme des deux nombres qui le précèdent immédiatement. Cette façon de procéder lui vaut d’être appelée officiellement une « série additive à deux temps ». Pratiquement cela donne :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…….. 6765….

Nous arrivons rapidement à des grands nombres.

Pour pouvoir imaginer le problème, Fibonacci a donné l’exemple de la reproduction des lapins qui sont traditionnellement prolifiques. Il est parti de l’hypothèse qu’un couple de lapins donne naissance à deux générations successives de couples de lapereaux avant de mourir. Question : quel est le nombre de lapins à la nième génération ? A la vingtième génération, il y aura 6765 couples de lapins issus de seul couple initial. Le nombre croit donc très vite. Mais cette série présente surtout la particularité que le rapport des nombres entre deux générations successives tend progressivement vers la valeur constante, Ø = 1,618, celle du fameux nombre d’Or.

Pour information, je signale que toute série additive à deux temps tend vers la valeur constante 1,618. Toute série additive à trois temps tend vers l valeur constante 1,839, etc. La valeur constante Ø = 1,618 n’est donc pas la particularité de la seule série de Fibonacci, comme certains le prétendent.

Reste la question de son emploi constaté dans la nature. La série de Fibonacci est la plus naturelle des séries additives. Elle est aussi la plus simple dans son fonctionnement. La nature l’utilise donc du fait de son évidence pratique. Facile à mettre en œuvre, elle permet surtout d’assurer au final une croissance harmonieuse et stable de l’organisme vivant. Ce dernier peut grandir sans perdre ses qualités physiques. Prenons l’exemple du tournesol, nous avons vu qu’il avait une disposition optimale des feuilles pour la réception de la lumière solaire nécessaire à la photosynthèse de la plante. Avec l’utilisation de cette série, la disposition initiale des feuilles ne se modifie pas au cours de la croissance de la plante.

De leur côté les Pythagoriciens ont repris ce problème au niveau de la métaphysique. En Analogie ils étudiaient les principes de l’identité, du même et de l’autre, de la similitude ainsi que celui de l’unité dans la variété.

Le nombre d’Or possède une particularité mathématique au niveau du calcul de ses puissances. Question : quelle est la valeur du nombre Ø élevé à la puissance cinquième ? La réponse ne nécessite pas de calculatrice. En effet nous savons, depuis Pacioli, que le nombre Ø est la solution de l’équation X2 – X – 1 = 0.

*Donc Ø2 = Ø + 1, ce qui se traduit numériquement par  Ø2 = 1,618 + 1 = 2,618

*En continuant, l’égalité Ø3 = Ø2 + Ø (c’est-à-dire la multiplication de la précédente équation par Ø) donne Ø3 = (Ø + 1) + Ø, soit Ø3 = 2xØ + 1 = 4,236. Le résultat de la multiplication s’obtient uniquement à l’aide d’additions.

*Poursuivons, avec Ø4 = Ø3 + Ø2, nous obtenons Ø4 = (2xØ + 1) + (Ø + 1), soit Ø4 = 3xØ + 2 = 6,854

*Terminons enfin, Ø5 = Ø4 + Ø3 = (3xØ + 2) + (2xØ + 1), soit Ø5 = 5xØ + 3 = 11,090 (11,09017 pour les fanatiques de la précision et de la calculette).

Cette propriété appelle deux remarques. Pour ceux qui ont fait des études secondaires, cela doit rappeler les logarithmes. Une multiplication transformée en mode logarithmique devient une addition de logarithmes. Or la spirale dorée que l’on a vu précédemment est justement une spirale logarithmique. Il est donc logique de retrouver cette façon de procéder par addition au niveau du calcul des puissances de Ø.

Ensuite les coefficients successifs (1,1) (2,1) (3,2) (5,3) que l’on trouve dans le développement du calcul précédent sont encore une nouvelle application de la série de Fibonacci. Décidément cette série ne nous lâchera pas.

En conclusion la série de Fibonacci présente deux avantages non négligeables. Un, elle est facile à imaginer, vous partez de ce que vous voulez et vous le répétez à volonté (ce qui est le cas des cellules souches de la biologie). Deux, elle tend très rapidement vers la valeur Ø = 1,618 (à partir de 8, nous avons une valeur déjà précise à 1%).

 



02/07/2018
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